三角函数知识全集

  三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
  

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
  

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
  

特殊三角函数值

a 0` 30` 45` 60` 90`

sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tana 0 √3/3 1 √3 None

cota None √3 1 √3/3 0

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+。
  。。+cnxn+。。。=∑cnxn (n=0。。∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+。。。+cn(x-a)n+。。。=∑cn(x-a)n (n=0。。∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,。。。cn。。
  。及a都是常数, 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+。。。f(n)(a)/n!*(x-a)n+。。。

实用幂级数：

ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+。
  。。+xn/n!+。。。

ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-。。。(-1)k-1*xk/k+。。。 (|x|  。。 (-∞  。。 (|x|   (x≤1)

sinh x = x+x3/3!+x5/5!+。。。(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+。。。 (-∞  。。 (-∞  。 (|x|  。∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π。。-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π。。-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π。。-π) (f(x)sinnx)dx。

你想要什么啊？

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朴智妍这是什么头发啊，我想剪。求啊，急啊！

上面两款三中发 下面就是短一些哦 如果你去喜欢上面那款 你就可以给发型师这样说 齐肩中发不要太厚重貌似梨花的那种 下面就是短发了 我觉得有得说的反而不清楚 如果你一般三区专业沙龙去消费的话 你可以大概的这一说 可以叫设计师给你设计款适合你的发型 然后你可以说你要什么效果如果设计师专业的话 就会想到你要的效果 个人觉得最简单的就是把照片给设计师看 让他照图片给你剪 设计师更容易懂些

朴智妍清晰素颜照？有木有

如图所示：

一、

二、

扩展资料：

朴智妍（박지연、Park Ji Yeon），1993年6月7日出生于韩国首尔特别市松坡区梧琴洞，韩国女歌手、演员、主持人、模特，女子演唱团体T-ara成员。

早年经历：

朴智妍高中时就开始了广播工作，她为了进行放送活动而转了3次学，分别读过首尔艺术高等学校、首尔惠花女子高等学校和利拉艺术高等学校。2012年，朴智妍在利拉艺术高等学校毕业；此后，朴智妍因为高中经常转校，所以她也就没有上大学。

SBS《深夜TV综艺》节目中，智妍当场卸掉全部妆容，露出姣好素颜：

智妍机场全程素颜，大方面对粉丝：

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理发知识。

理发技术基础知识
1、一般的剪发技巧。
锯剪的操作技巧有以下几点：
①主要是剪刀与头发保持斜形地向上或向下剪发，不能平行地剪，而要斜形移动地剪，这样不会形成重叠，影响头发层次。
②锯齿的部位要事先考虑好，做到心中有数。一般说头发厚的部位要多剪，头发少的部位，特别是短发和头路两侧要少剪。
2、剪刀削发操作技巧有以下几点：
①剪刀削发时，剪刀刀刃要略为张开，将手指夹住的头发放在两片刀刃中，刀刃略带斜角，用刀刃在头发上滑动，将头发削（切）断。削剪时手腕用力恰当，过重头发削去过多，过小则削不下头发。
②削剪时手指夹住头发，要保持一定张力，便于把头发削下。
③削剪时要掌握剪刀刀刃在头发上滑动的幅度，一般讲角度大笔尖形小、角度小笔尖形大。
3、剃刀的操作技巧有以下几点：
①剃刀削发要掌握剃刀与头发的角度，一般以20。至45。角之间为宜，角度大笔尖形小，角度小笔尖形大，角度过小，头发容易翻翘，同时也损伤头发。
②剃刀在头发上滑动幅度，决定削去头发的多少和层次的高低。剃刀滑动的幅度大削去头发多，形成的层次高；剃刀滑动的幅度小削去的头发少，形成的层次低。
③剃刀削发时，手腕关节灵活，用力适当，削出的头发比较柔和。

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护发产品有哪些种类

头发是由蛋白纤维构成的。蛋白质在酸、碱、干燥、紫外光照射等环境下，会发生变性和断裂。经常使用具有碱性的香波洗发，会使发质中的油脂过多溶解，蛋白质周围保护液减少，导致蛋白质暴露在空气中，受到紫外线照射，并处于干燥环境中，增加了发生变性和断裂的可能性。因此，洗发后应该经常对头发进行养护。目前最为常用的护发产品当属护发素。
（1）护发素原料
护发素的原料主要包括护发成分和辅料两部分。
护发成分多为阳离子型表面活性剂、水溶性硅油和水溶性聚合物；
辅料成分包括保湿剂、赋脂剂、乳化剂、防腐剂、抗氧剂、香精、色素等。
（2）护发素品种
护发素品种繁多，有多种分类法。
①按剂型分类：有透明液体、乳液、膏体、凝胶、气雾剂护发素等；
②按功能分类：有通常护发用、干性发质用、受损发质用、头屑用、防晒用护发素等；
③按使用方法分类：有水洗、免洗、焗油护发素等。

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如何护理蓬松的头发变得柔顺?

1、白醋洗头：头发枯干没有光泽，用了滋润洗发液也不见效，这种情况应该怎样用醋洗头。可在每次洗发后，再用对入少量食醋的温水漂洗头发，20分钟后用清水冲洗。慢慢地，头发会变得柔软光泽、乌黑亮丽。
2、啤酒洗发：先用啤酒将头发弄湿，大约保持15～30分钟，并且这段时间不断揉搓头皮，然后再用温水冲洗，最后用普通洗发液洗净。每日1至2次，连用4-5次即可除去头屑，还可止痒。用啤酒洗头后会感到舒适，头发的光泽度、柔软性、梳理性也很不错。

怎么保养头发，让头发柔顺

1、选择适合的洗润发乳
洗发水是每个人日常生活中都会必备的生活用品，这时要想是自己的头发变得柔顺有光泽，那么选择一个适合自己的洗发水就很重要了，最好要选择温和植物性的洗发水；
这样可以减少洗发水中的化学成分对头发及头皮造成损伤。建议每两天洗一次头发并使用护发素对头发进行滋养，使发丝能充分吸收营养，保持光泽柔顺。

2、避免使用吹风机的高热风挡
日常在洗完头发的时候，无论长发短发，都习惯性的使用吹风机去吹干，这种现象在寒冷的冬季尤为突出，但是吹风机的高热风挡接触头发，虽然能将头发吹干，但是吹干后的头发却会变得很干燥毛糙，不容易打理。




扩展资料：
护发食物：
1、蜜桃。蜜桃所含的营养成分有蛋白质、脂肪、糖、钙、磷、铁和维生素B属及维生素C等，具有深层滋润和紧实肌肤的作用，使肌肤润泽有弹性而且能增进皮肤抵抗力，同时蜜桃还能给予头发高度保湿和滋润，增强头发的柔软度。
2、奇异果。奇异果可谓水果中的营养之王，富含胡萝卜素。维生素C 精氨酸。除了卓越的抵抗衰老的本领。抗辐射，氧化和自由基，还有大量的ALA酸，能帮助秀发维持水分，防止头发干燥。可全面改善头发状态。

3、核桃。核桃是富含欧米伽3脂肪酸的坚果。其中丰富的维生素H和维生素E有助于保护细胞DNA免受损伤，可保持头发光泽靓丽。凉拌菜中可适当增加核桃油或核桃碎。

参考资料来源：
人民网-如何有效护理头发 这些方法让头发柔顺健康

人民网-食物也能护发吗？给头发吃水果有好处

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拍婚纱照、结婚前,新娘要把头发烫卷好吗?

好想烫大卷当一个最美的新娘
烫卷的造型挺可爱的呀
如果担心的话就跟造型师讨论一下啰
我倒是觉得一定要卷发才好呀
若都是直发的话变化实在是很有限呢
其实我会建议新娘
可以等结婚后在烫喔！
如果结婚想要用浪漫大卷的话
可以请新娘化妆师帮新娘用波浪卷喔！---------不错呀~~可以做出浪漫的大波浪造型~~^^
推荐新娘化妆师黄丽蓉哦---------Re:拍婚纱、结婚前,新娘要把头发烫卷好吗?其实烫不烫都还好
如果你是直发但是要做卷发造型
新娘化妆师会用电棒帮你做造型唷^^----------新娘可以不要先烫卷阿
因为造型师会先依照新娘需求来做变化
也很甜美喔…--------烫也OK呀
现在新娘化妆师都很厉害
做造型也可以用假发来取代呀-------
没有烫卷~~新娘化妆师也会帮你用电棒弄卷呀~~看起来很像烫卷的效果呀

新娘为何要盘发？

结婚是人生大事，在婚礼那天最美的就是新娘子了，新娘子往往是身披白色婚纱，头绾高贵发髻，手持鲜花，与新郎一起手挽手走向红地毯的那一端，走向幸福的新生活。
　　今天的新娘盘头风俗来源于我国古代的“结发“仪式。
　　“结发”是中国古代男女举行婚礼的一种仪式，这种仪式在我国上古时代就已经存在，《礼记曲礼上》曰：“女子许嫁，缨。”“缨”是一种彩色的带子，女子在被许配他人后，就用彩带束住发辫，以示她有了对象，待成婚的时候，再由新郎亲手从她的头发上解下。《仪礼土昏礼》中就记载：“主人入室，亲脱妇之缨。”
　　“结发”仪式在唐宋元时候依然存在，但具体形式已经有了变化，其名称也改为“合髻”。 宋孟元老《东京梦华录娶妇》中记载：“凡娶妇，男女对拜毕，就床，男左女右，留少头发，二家出匹缎、钗子、木梳、头须之类，谓之合髻”。即是说新婚夫妇，在饮交杯酒前各剪下一绺头发，绾在一起表示同心。 “合髻”与“结发”虽然具体形式不同，但都是以男女双方发丝为爱情信物，都寓含有生死相依，白头偕老，永不分离的美好含义。双方发丝绾在一起时已难分你我，在发丝相互缠绕之时，彼此心灵也紧紧相依，永结同心，生死不离的心灵盟约由此而生。古代许多诗文都提到这种神圣的结发之礼，如“侬既剪云鬟，郎亦分丝发。觅向无人处，绾作同心结。”“结发为夫妻，从此两不疑” “交丝结龙凤，镂彩结云霞，一寸同心缕，百年长命花。”可见结发成为夫妻同心的一种见证方式。正因在新婚时举行了如此神圣的结发礼，故人们就称首次结婚为“结发夫妻”，即元配夫妻。结发夫妻是人们最为重视的，在我国汉代如果结发妻因故早逝，其丈夫往往会把他们结婚时用的梳子掰开分为两半，在上面还留存着妻的青发几缕，把另外一半随葬入棺，以表示生生不忘结发之妻，
　　古代盛行的结发仪式在现代已经淡化，而演变成新娘盘头的风俗，新娘的盘发在新婚之日是不能自己解开的，必须要新郎才能解开，新娘的满头青丝正是给新郎的爱情信物。结发示同心，爱情应永恒，这是人们对新人的美好祝福。

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如何护理头发？？？

用温水洗发。洗发水的功效在温水时最佳。如果已经冲洗干净头发之后再来一阵凉水，会使头发更有光泽。
护发
使用正确的护发素。蛋白质类有助于加强头发和头皮的滋润与耐力，保湿类的能增强头发的柔软与光泽。
使用护发素之前，用毛巾吸干头发上的水，水太多时护发素不能有效被吸收。
护发素应施于头发中部或发梢而非紧贴头皮的发根部。
在冲洗头发之前用梳子充分梳理头发，使护发素均匀平滑地分布。
往你的护发素里加几滴橄榄油可以使头发得到深层护理。
梳理
用香波之前，先把头发梳顺。
洗头发时，别把它全堆在脑袋顶上，这只会增加头发的纠缠程度。
用一条毛巾轻柔地吸干头发里多余的水，然后用宽齿的梳子梳理头发，先从发根开始，再梳通中部直至最后全梳通，不要硬拽头发。
蓬松
在发根而不是发梢使用蓬松喷雾剂或摩丝。
对于发根处的头发，可用圆形发梳梳起头发再吹干。可先把吹风机设置在强热档位，再用冷风吹一下。
头发干了之后，给发梢喷一些营养水

如何护理头发？

第一.10个洗护好习惯善待秀发
1、洗发前，先梳理头发一次，可除去表面的污垢和解开缠结。养成每天梳头一百下的好习惯。
2、用洗发露按摩干的头发，然后用温水冲净。这是最有效和快捷的方法。
3、花洒式的按摩法既可增加血液循环，又能舒缓压力，令头发生长得更健康。
4、护发素只应涂抹在发丝末端和发茎的位置，如在发根涂得太多，头发会很快变得油腻
5、洗发后，把一羹匙注入600ml的温水中，然后浸入头发，用梳子梳匀，最后再用暖水冲洗。这样可增强光泽和去除杂质。
6、热水会令头发的鳞状表层膨胀，出现纠结和色泽晦暗。故此，应用冷水，因冷水能锁紧鳞状表层，保持头发充满光泽。
7、绝对不应用毛巾擦干头发。最好是用手指慢慢榨出多余的水分，然后轻轻地用毛巾吸干。这样能有保湿的效果，又不会损坏头发的弹性。
8、当头发仍湿时，选用阔齿梳将头发分为若干部分，再温柔地从尾端梳起，直到纠结完全解除。因在这种情况下，头发的鳞状表层会膨倍，容易受损。
9、最好让头发天然风干。长头发女士可把头发束起，而短头发的女士可利用各种定型产品，选出自己喜爱的发型。
10、待头干透后，可以保湿喷雾喷在梳子上，然后梳头，有助于头发服贴及长时间固定发型。

第二.简单的护发秘诀
茶水护发

在洗完头发以后，再用茶水冲洗，可使头发乌黑柔软，富有光泽。

啤酒护发

先将头发洗净，擦干，然后将啤酒均匀地涂搽在头发上，并进行揉搓按摩，使其渗透根。10分钟后用清水洗净，这样不仅使头发光亮，而且能防止头发干枯脱落，促进头发生长。

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头发定型是什么意思？

头发定型就是用美发产品将头发的发型固定住，但并不是永久的，只是一个暂时的造型，需要后期自己打理。
头发定型需要用到定型剂，定型剂是指对头发起定型和修饰作用的定型化妆品，经喷洒或涂抹到头发上时，经溶剂蒸发干燥而在头发上形成一层透明的薄膜，使头发纤维变硬而达到保持形状的目的，以满足各种发型的需要。
定型剂产品根据市场需求主要包括以下几种类型：滋补型、芳香型、各种胶型、油/胶型、摩丝、发蜡、发乳、发浆液、香精、万灵膏、发胶摩丝、头发洗液和头发喷雾剂。



扩展资料：
定型剂：
1、喷发胶
喷发胶是主要的头发定型产品。通过压动阀门由灌将含有定型组分的溶液雾化成细雾。
具有如下特性：改善头发定型，确保卷发弹性,提高头发的稠密度，赋予头发光泽；容易分布在湿发上，易于梳理，没有黏感觉，快干，不会因梳头和扫刷而变成粉末灿残留在头发上，对潮湿气候不敏感，没有不良气味，容易用香波清洗除去。
主要成分包括定型聚合物（树脂）、中和剂、增塑剂和溶剂等等。其中定型聚合物，主要起着头发定型、抗静电作用，溶剂起着溶解作用、粘度调节等作用，中和剂起着中和树脂中有机、改变聚合物溶解度作用。
2、发蜡
发蜡是一种半固体的油、脂和蜡的混合膏状头发定型产品，通过充满头发之间的空隙，从而固定发型，使头发保持既相互吸引而又不固定板结的自然风格。是一种“既定发，又不板结”的定发剂。
参考资料：百度百科-定型剂

参考资料：百度百科-喷发胶
参考资料：百度百科-发蜡

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